Étude des fonctions: Notes sur la procédure

Les programmes Fonctions polynômiales  et Fonctions rationnelles  exécutent à peu près les mêmes tâches que le programme Discussion d'une fonction , mais diffèrent fondamentalement dans la procédure.

Comme vous le savez les zéros, les extrema et les points d'inversions sont déterminés en calculant les zéros de ƒ(x), ƒ'(x), ƒ"(x) et ƒ'"(x).

Dans le programme Discussion d'une fonction , ceux-ci sont déterminés approximativement en recherchant la fonction ou les dérivées dans un intervalle pour un changement de signe. Cette méthode numérique peut être appliquée à n'importe quelle fonction, mais ce n'est pas une méthode viable pour trouver des lacunes de définition.

Les programmes Fonctions polynômiales  et Fonctions rationnelles  sont limités aux polynômes à coefficients rationnels. Ceci permet de calculer exactement les zéros rationnels de la fonction ou des dérivées et, dans le cas des fonctions rationnelles fractionnaires, de déterminer les écarts de définition via les zéros du polynôme dénominateur.

Comme le montrent les exemples suivants, les deux méthodes présentent des avantages et des disaventages.

Exemple 1:

	       x2 + 4·x + 3                (x + 1)·(x + 3)
ƒ(x) = ———————— = —————————
               x4 + x3 - 6·x2             x2·(x - 2)·(x + 3)
			   
x1 = -3 Espace récupérable L (-3 | 0,0444444)
x2 = 0  Pôle sans changement de signe
x3 = 2  Pôle avec changement de signe

Les lacunes de définition sont correctement déterminées dans le programme Fonctions rationnelles .
Dans le programme Autres fonctions  cependant, x₁ et x₃ ne sont pas reconnus et sont affichés à tort comme des points d'inversions. La raison en est le changement de signe de la dérivée seconde.

Exemple 2

  ƒ(x) = 3*x^7 + 3*x^6 + 17*x^5 - 5*x^4 + 34*x^3
         - 10*x^2 - 16*x + 8

  N1 (-0,68­3 | 0)

  H1 (-0,295987 | 10,9025)
  T1 ( 0,471495 | 1,9943)

  W1 (0,0992583 | 6,34628)

Le polynôme n'a pas de zéros rationnels et le degré du polynôme est trop élevé pour pouvoir utiliser les formules de Cardano et Ferrari (voir  Équations du 4ème degré ). Par conséquent, aucun zéro, aucun extrema et aucun point d'inversions ne se trouvent dans le
programme Fonctions polynômiales .
La méthode numérique du programme Autres fonctions est utile ici.

La décomposition en facteurs linéaires de ƒ(x) montre si les résultats des programmes de Fonctions polynômiales  et de Fonctions rationnelles  doivent être vérifiés avec le programme Autres fonctions . Si cela n'est pas complet et que le degré du polynôme restant est supérieur à 4, d'autres zéros irrationnels, extrema et points d'inversions peuvent exister.
Dans les programmes Fonctions polynômiales  et Fonctions rationnelles , le terme de fonction ƒ(x) est automatiquement copié dans le presse-papiers et peut être inséré dans le programme Autres fonctions  par Ctrl V  ou l'option Coller  dans le menu contextuel.