Équations du 4e degré
Le programme détermine les solutions dans le réelles d'une équation du 4e degré ou moins.
a·x4 + b·x3 + c·x2 + d·x + e = 0
Exemple:
Pour déterminer la solution de l'équation x4 + 2x3 - 8x2 -18x - 9 = 0 , entré les coefficients a jusqu'à e comme ça:
Nous obtenons la solution:
x4 + 2·x3 - 8·x2 - 18·x - 9 = 0 <=> (x + 1)2·(x - 3)·(x + 3) = 0
L = {-3; -1; 3}
La formule pour les équations du second degré est connu pour chaque élève. La formule pour les équations du troisième degré, a été trouvé par Scipione del Ferro en 1530 mais publié seulement après sa mort par son élève Ceralamo Cardano. L'extension aux équations de la quatrième degré Cardano lui-même a attribué à son élève Lodovico Ferrari.
Équations de 5e degré ou plus grand
En 1824, le mathématicien norvégien Niels Henrik Abel a réussi à démontrer que, sauf cas particulier, il ne peut y avoir de formule de solution pour les équations de degré supérieur à 4. Il reste alors des calculs d'approximation comme ceux utilisés pour déterminer les zéros dans la partie du programme Étude des fonctions arbitraires.
La division polynomiale offre parfois une solution, lorsqu'une solution a été trouvée par tâtonnement.
Si q est une solution, on trouve les solutions résiduelles en divisant par (x-q).
Par exemple x5 - 12x3 - 2x2 + 27x + 18 = 0 a la solution x1 = 2 .
(x5 - 12x3 - 2x2 + 27x + 18) : (x - 2 ) = x4 + 2x3- 8x2 - 18x - 9
L'équation x4 + 2x3- 8x2 - 18x - 9 = 0 donne les solutions restantes.
La factorisation des polynômes est encore plus rapide. Il fournit toutes les solutions rationnelles:
p(x) = x5 - 12x3 - 2x2 + 27x + 18
= (x + 1)2·(x - 2)·(x - 3)·(x + 3)
Zéros rationnels: -1, 2, 3, -3
Voir aussi:
Wikipedia: Equation cubique | Méthode de CardanWikipedia: Scipione del Ferro | Gerolamo Cardano | Ludovico Ferrari