Factoriser des polynômes
Les zéros rationnels et la décomposition d'un polynôme en facteurs linéaires sont déterminés.
p(x) = a9·x9 + a8·x8 + ... + a0.
Les coefficients du polynôme peuvent être saisis sous forme de fractions, de nombres mixtes ou de nombres décimaux abandonnés.
p(x) = x5 - 9·x4 - 82/9·x3 + 82·x2 + x - 9
= (1/9)·(9·x5 - 81·x4 - 82·x3 + 738·x2 + 9·x - 81)
= (1/9)·(3·x - 1)·(3·x + 1)·(x - 9)·(x - 3)·(x + 3)
Zéros rationnels: 1/3, -1/3, 9, 3, -3
Premièrement, les coefficients sont ramenés aux nombres entiers en excluant les facteurs de fraction. Les zéros rationnels sont ensuite déterminés et le polynôme décomposé en facteurs linéaires associés. Les facteurs qui n'ont pas de zéros rationnels ne sont plus décomposées.
D'autres exemples:
p(x) = x6 + x5 - 5·x4 - 5·x3 + 4·x2 + 4·x
= x·(x - 1)·(x + 1)2·(x - 2)·(x + 2)
Zéros rationnels: 0, 1, -1, 2, -2
p(x) = x6 - 36·x5 + 505·x4 - 3480·x3 + 12139·x2 - 19524·x + 10395
= (x - 1)·(x - 3)·(x - 5)·(x - 7)·(x - 9)·(x - 11)
Zéros rationnels: 1, 3, 5, 7, 9, 11
p(x) = 0,2·x5 + x4 + 2·x3 + 2·x2 + x + 0,2
= (1/5)·(x5 + 5·x4 + 10·x3 + 10·x2 + 5·x + 1)
= (1/5)·(x + 1)5
Zéros rationnels: -1
p(x) = -432·x5 - 648·x4 + 837·x3 + 1835·x2 + 875·x + 125
= (3·x + 1)2·(3·x - 5)·(4·x + 5)2
Zéros rationnels: -1/3, 5/3, -5/4
p(x) = x5 + 3·x4 + 8/3·x3 - x - 1/3
= (1/3)·(3·x5 + 9·x4 + 8·x3 - 3·x - 1)
= (1/3)·(x + 1)3·(3·x2 - 1)
Zéros rationnels : -1
Zéros irrationnels: -0,57735, 0,57735
Si, comme dans le dernier exemple, il reste un polynôme résiduel avec un degré inférieur ou égal à 4, tous les zéros irrationnels qui existent encore peuvent être déterminés avec la partie de programme Algèbre /Equations du 4ème degré.
Si le degré du polynôme résiduel est supérieur à 4, il est toujours possible de rechercher d'autres zéros graphiquement à l'aide de la partie de programme Analyse / Étude des fonctions polynômiales.
Voir aussi:
Wikipédia: Factorisation des polynômes