Funciones polinomiales | Funciones racionales | Funciones arbitrarias

Estudio de funciones: Notas sobre el procedimiento

Los programas Funciones polinomiales  y  Funciones i>racionales  realizan aproximadamente las mismas tareas que el programa Funciones arbitrarias , pero difieren fundamentalmente en el procedimiento.

Como es bien sabido, los ceros, los extremos y los puntos de inflexión se determinan calculando los ceros de ƒ(x), ƒ'(x), ƒ"(x)  y  ƒ'"(x).

En el programa Funciones arbitrarias,  estos se determinan aproximadamente mediante la búsqueda de la función, o las derivadas, paso a paso en un intervalo para un cambio de signo. Este método numérico se puede aplicar a cualquier función, pero no es un método viable para encontrar brechas de definición.

Los programas Funciones polinómicas  y Funciones racionales  se limitan a polinomios con coeficientes racionales. Esto permite calcular exactamente los ceros racionales de la función o las derivadas y, en el caso de funciones racionales fraccionarias, determinar los áreas de definición a través de los ceros del polinomio del denominador.

Como muestran los siguientes ejemplos, ambos métodos tienen ventajas y desventajas.

Ejemplo 1:

                 x2 + 4 · x + 3           (x + 1) · (x + 3)
ƒ (x) = ———————— = —————————
               x4 + x3 - 6 · x2         x2 · (x - 2) · (x + 3)
			   
x1 = -3 Brecha eliminable L (-3 | 0,0444444)
x2 = 0 Polo sin cambio de signo
x3 = 2 polos con cambio de signo

Las brechas de definición se determinan correctamente en el programa Funciones racionales .
Sin embargo, en el programa Funciones arbitrarias , x1 y x3 no se reconocen y, en cambio, se muestran incorrectamente como puntos de inflexión. La razón de esto es el cambio de signo de la segunda derivada.

Ejemplo 2:

ƒ (x) = 3 * x^7 + 3 * x^6 + 17 * x^5-5 * x^4 + 34 * x^3
        - 10 * x^2-16 * x + 8
 
N1(-0,683 | 0)

H1(-0,295987 | 10,9025)
T1(0,471495 | 1,9943)

W1(0,0992583 | 6,34628)

El polinomio no tiene ceros racionales y el grado del polinomio es demasiado alto para poder utilizar las fórmulas de Cardano y Ferrari (ver  ecuaciones de 4° grado ).
En el programa Funciones polinomiales,  por lo tanto, no se encuentran ceros, extremos ni puntos de inflexión.
El método numérico en el programa Funciones arbitrarias  puede ayudar aquí.

La descomposición de factores lineales de ƒ(x) muestra si los resultados de los programas Funciones polinómicas  y  Funciones racionales deben verificarse con la Funciones arbitrarias . Si esto no está completo y el grado del polinomio restante es mayor que 4, pueden existir más ceros, extremos y puntos de inflexión irracionales.
En los programas Funciones polinomiales  y  Funciones racionales , el término de función ƒ(x) se copia automáticamente al portapapeles y se puede insertar en la Funciones arbitrarias  con Ctrl V  o  la opción Pegar en el menú local.

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