Kurvendiskussion beliebiger Funktionen

Das Programm führt für eine beliebige Funktion die Kurvendiskussion durch. Das heißt, es werden die Ableitungen bestimmt, die Funktion wird in einem vorgegebenen Bereich auf Nullstellen, Extrema und auf Wendepunkte untersucht, die Schaubilder von ƒ, ƒ' und ƒ" werden gezeichnet, und eine Wertetabelle wird ausgegeben.

Eingabe

Außer dem Funktionsterm werden der Bereich der Untersuchung, die Genauigkeit der Untersuchung und der Winkelmodus eingegeben. Der Untersuchungsbereich ist das Intervall, in dem die Funktion auf Nullstellen, Extrema und Wendepunkte untersucht wird. Er darf nicht zu groß gewählt werden, da gleichzeitig die Schrittweite erhöht wird, mit der die Funktion auf Vorzeichenwechsel untersucht wird.

Ausgabe

Die Ableitungen ƒ' und ƒ" von ƒ  werden durch symbolisches Differenzieren nach den üblichen Ableitungsregeln bestimmt. Falls dabei Probleme auftreten, lassen sich die Ableitungen auch ausschalten. Der Rest der Kurvendiskussion erfolgt dann numerisch. Dabei werden die Differenzialquotienten dƒ(x)/dx durch die Differenzenquotienten Δƒ(x)/Δx mit kleinem Δx ersetzt.

Ausgegeben werden die Nullstellen, die Hoch- und Tiefpunkte und die Wendepunkte der Funktion im Untersuchungsbereich.

Definitionslücken kann das Programm nicht erkennen, allein deswegen, weil sie wegen der binären Arithmetik meist nicht im Rechenbereich liegen oder übersprungen werden. Aus diesem Grund können dort versehentlich Extrema oder Wendepunkte angezeigt werden. Was für die Definitonslücken gesagt wurde, gilt entsprechend auch für die Stetigkeit und Differenzierbarkeit von ƒ, ƒ' und ƒ". Hier bleibt zwangsläufig ein Stück Eigenarbeit übrig.

Für ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) und (gebrochen)rationale Funktionen empfehlen sich die Programmteile Polynomfunktionen  und Rationale Funktionen .

Beispiel

Funktion :
¯¯¯¯¯¯¯¯
  ƒ(x) = x^4 - 2*x^3 + 1
  Untersuchung im Bereich von  -10  bis  10

Ableitungen:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  ƒ'(x) = 4*x^3-6*x^2
  ƒ"(x) = 12*x^2-12*x

Nullstellen:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  N1( 1 | 0 )                  m = -2
  N2( 1,83929 | 0 )       m =  4,5912

Extrema:
¯¯¯¯¯¯¯¯
  T1( 1,5 |-0,6875 )      m = 0

Wendepunkte:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  W1( 0 | 1 )                 m = 0
  W2( 1 | 0 )                 m =-2

Für die Wertetabelle kann der Bereich und die Schrittweite bestimmt werden, mit der die Wertetabelle von ƒ, ƒ' und ƒ" erstellt werden soll. Vorgegeben wird der Untersuchungsbereich der Kurvendiskussion. Stellen, an denen eine der Funktionen nicht definiert ist, werden durch --- gekennzeichnet.

Siehe auch:

Hinweise zum Verfahren | Erlaubte Funktionsterme | Einstellen der Grafik
Wikipedia: Kurvendiskussion