Kreistangenten-Berechnung

Pol und Polare

Der Kreis k um den Mittelpunkt M mit Radius r wird beschrieben durch die Gleichung
( x - x_M)² + ( y - y_M)² = r².

Setzt man bei den beiden Quadraten auf der linken Seite jeweils in einem Faktor für x bzw. y die Koordinaten des Punktes P ein, so erhält man die folgende Gleichung, die eine Gerade beschreibt.
( x_P - x_M)·( x - x_M) + ( y_P - y_M )·( y - y_M ) = r².
Sie wird Polare zum Pol P genannt und ist ein starkes Hilfsmittel bei der Bestimmung der Tangentengleichungen.

Die Tangenten an einen Kreis k durch einen Punkt P

Sind ein Kreis k und ein Punkt P auf dem Kreis gegeben, so ist die Polare von P die gesuchte Tangente

Sind ein Kreis k und ein Punkt P außerhalb von k gegeben, so schneidet die Polare von P den Kreis in den beiden Berührpunkten der Tangenten durch P. Man löst also die Gleichung der Polare nach y auf (bzw. nach x, falls der Koeffizient von y Null ist) und setzt sie in die Kreisgleichung ein. Mit den so berechneten Berührpunkten B₁ und B₂ stellt man die Gleichungen der Tangenten t₁=(P B₁) und t₂=(P B₂) auf.

Liegt der Punkt P innerhalb des Kreise, so ist die Polare eine Gerade außerhalb des Kreises. Die Punkte auf dieser haben alle die Eigenschaft, dass sich ihre Polaren in P schneiden.

Die Tangenten an einen Kreis k parallel zu einer Geraden g

Sind ein Kreis k und eine Gerade g: a·x + b·y = c gegeben, so schneidet die Lotgerade auf g durch den Mittelpunkt M des Kreises diesen in den Berührpunkten B₁ und B₂. Für die Koeffizienten der Lotgerade gilt a'=-b und b'=a. Den konstanten Summanden c' erhält man, indem man die Koeffizienten von M einsetzt.

Die Tangenten an zwei Kreise k₁ und k₂

Sind r₁ und r₂ die Radien der Kreise k₁ und k₂, so nehmen wir o.B.d.A. an, dass r₁ > r₂. Trifft das nicht zu, werden die Kreise getauscht.

Wie viele gemeinsame Tangenten zwei Kreise haben, hängt von der gegenseitigen Lage der Kreise ab:

a)  |M₁M₂| = r₁−r₂
Den gemeinsamen Berührpunkt B berechnet man am einfachsten indem man zu dem Ortsvektor von M₂ das r₂/|M₁M₂|-fache  des Vektors von M₁ nach M₂ addiert. Die Tangente ist die Lotgerade zu (M₁M₂) in B.

b)  |M₁M₂| > r₁−r₂
Um die äußeren Tangenten an zwei Kreise zu bestimmen, bestimmt man zunächst die Tangenten an einen Kreis k₃ um M₁ mit Radius  r₃=r₁−r₂  durch M₂ (analog zur Aufgabe Tangente an k durch P). Sind P₁ und P₂ die Berührpunkt auf k₃, dann verschiebt diese um das r₁/r₃-fache des Vektors von M₁ nach P₁ bzw. nach P₂ (vgl. a)).

Einen Sonderfall bilden zwei Kreise mit gleich großem Radius, da der Hilfskreis k₃ den Radius Null hätte. In diesem Fall bestimmt man die Tangenten analog zur Aufgabe Tangente an k parallel zu g mit g = (M₁M₂).

c)  |M₁M₂| = r₁ + r₂
Berühren sich die beiden Kreise von außen, so existiert eine dritte gemeinsame Tangente t₃. Der gemeinsame Berührpunkt teilt die Strecke M₁M₂ im Verhältnis r₁ : r₂. Die Tangente t₃ ist orthogonal zu M₁M₂.

d)  |M₁M₂| > r₁ + r₂
Liegt k₂ ganz außerhalb k₁, so existieren zwei "innere" gemeinsame Tangenten, die sich zwischen den Kreisen kreuzen.
Um die inneren Tangenten an zwei Kreise zu bestimmen, bestimmt man zunächst die Tangenten an einen Kreis k₃ um M₁ mit Radius  r₃=r₁+r₂  durch M₂ (analog zur Aufgabe Tangente an k durch P). Sind P₁ und P₂ die Berührpunkt auf k₃, dann verschiebt man diese um das r₁/r₃-fache des Vektors von M₁ nach P₁ bzw. nach P₂ (vgl. a)).

Siehe auch:

Einstellen der Grafik
Wikipedia: Kreistangente | Pol und Polare