Gleichungen 4. Grades
Das Programm bestimmt die reellwertigen Lösungen einer Gleichung 4. oder kleineren Grades.
a·x4 + b·x3 + c·x2 + d·x + e = 0
Beispiel:
Um die Lösungsmenge der Gleichung x4 + 2x3 - 8x2 -18x - 9 = 0 zu bestimmen, gibt man die Koeffizienten a bis e folgendermaßen ein:
und erhält die Lösungsmenge:
x4 + 2·x3 - 8·x2 - 18·x - 9 = 0 <=> (x + 1)2·(x - 3)·(x + 3) = 0
L = {-3; -1; 3}
Die Formel für quadratische Gleichungen lernt jeder Schüler. Die Formel für kubische Gleichungen, also 3. Grades, wurde von Scipione del Ferro um 1530 hergeleitet, aber erst nach seinem Tode von seinem Schüler Ceralamo Cardano veröffentlicht. Die Erweiterung auf Gleichungen 4. Grades schrieb Cardano selbst seinem Schüler Lodovico Ferrari zu.
Gleichungen 5. und höheren Grades
1824 gelang dem norwegischen Mathematiker Niels Henrik Abel der Nachweis, dass es für Gleichungen höher als 4. Grades, abgesehen von Sonderfällen, keine Lösungsformel geben kann. Es bleiben dann noch Näherungsrechnungen wie sie bei der Bestimmung der Nullstellen im Programmteil Kurvendiskussion angewendet werden.
Einen Ausweg bietet manchmal die Polynomdivision, wenn durch Probieren eine Lösung gefunden wurde.
Zum Beispiel findet man durch Probieren für die Gleichung x5 - 12x3 - 2x2 + 27x + 18 = 0 die Lösung x1 = 2 .
Die linke Seite der Gleichung muss sich also ohne Rest durch (x - 2) dividieren lassen. Die Polynomdivision ergibt:
(x5 - 12x3 - 2x2 + 27x + 18) : (x - 2 ) = x4 + 2x3- 8x2 - 18x - 9
Die Gleichung x4 + 2x3- 8x2 - 18x - 9 = 0 liefert dann die restlichen Lösungen.
Noch schneller geht es mit der Polynomfaktorisierung. Sie liefert alle rationalen Lösungen:
p(x) = x5 - 12x3 - 2x2 + 27x + 18
= (x + 1)2·(x - 2)·(x - 3)·(x + 3)
Rationale Nullstellen: -1, 2, 3, -3
Siehe auch:
Wikipedia: Kubische Gleichung | Cardanische FormelnWikipedia: Scipione del Ferro | Gerolamo Cardano | Ludovico Ferrari