MatheAss 9.0Análisis

Factorización de polinomios

Se determinan los ceros racionales y la descomposición factorial lineal de un polinomio
p1(x) = a9·x9 + a8·x8 + ... + a0

Los coeficientes del polinomio se pueden ingresar como fracciones, como números mixtos o como números decimales de ruptura.

p (x) = x5 - 9·x4 - 82/9·x3 + 82·x2 + x - 9
       = (1/9)·(9·x5 - 81·x4 - 82·x3 + 738·x2 + 9·x - 81)                       
       = (1/9)·(3·x - 1)·(3·x + 1)·(x - 9)·(x - 3)·(x + 3)

Ceros racionales: 1/3, -1/3, 9, 3, -3

Primero, los coeficientes se llevan a números enteros excluyendo los factores fraccionarios. Luego se determinan los ceros racionales y el polinomio se descompone en los factores lineales asociados. Los factores que no tienen ceros racionales no se desglosan más.

Más ejemplos:

p (x) = x6 + x5-5·x4-5·x3 + 4·x2 + 4·x                                                 
       = x·(x - 1)·(x + 1)2·(x - 2)·(x + 2)
	   
Ceros racionales: 0, 1, -1, 2, -2
p (x) = x6 - 36·x5 + 505·x4 - 3480·x3 + 12139·x2 - 19524·x + 10395
      = (x - 1)·(x - 3)·(x - 5)·(x - 7)·(x - 9)·(x - 11)

Ceros racionales: 1, 3, 5, 7, 9, 11
p (x) = 0,2·x5 + x4 + 2·x3 + 2·x2 + x + 0,2                                         
     = (1/5)·(x5 + 5·x4 + 10·x3 + 10·x2 + 5·x + 1)       
     = (1/5)·(x + 1)5

Ceros racionales: -1
p (x) = -432·x5 - 648·x4 + 837·x3 + 1,835·x2 + 875·x + 125             
      = (3·x + 1)2·(3·x - 5)·(4·x + 5)2

Ceros racionales: -1/3, 5/3, -5/4
p (x) = x5 + 3·x4 + 8/3·x3 - x - 1/3                                                     
       = (1/3)·(3·x5 + 9·x4 + 8·x3 - 3·x - 1)
       = (1/3)·(x + 1)3·(3·x2-1 )

Ceros racionales: -1

Si, como en el último ejemplo, queda un polinomio residual con un grado menor o igual a 4, los ceros irracionales restantes se pueden determinar utilizando la parte del programa Álgebra/Ecuaciones de 4° grado .

Si el grado del polinomio residual es mayor que 4, todavía es posible buscar gráficamente más ceros usando la parte del programa Análisis/Estudio de curvas.

See also:

Wikipedia: Factorization of polynomials

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