Folgen und Reihen

Das Programm bestimmt die ersten n Glieder einer Folge  (ai)  und der zugehörigen Reihe (Summe der Folgenglieder), wenn eine explizite Funktion  ai=ƒ(i)  oder die ersten Glieder der Folge zusammen mit einer Rekusrsionsformel  ai=ƒ(a0, a1, ... , ai-1)  gegeben sind.

Die Folge der ungeraden Zahlen

Sie kann explizit definiert werden durch  ai = 2·i + 1 :

a[0] ... =

a[ i ] = 2*i + 1

n = 10

a[i] = 2*i + 1;   n = 10;

Folge
¯¯¯¯¯
( a[ i ] ) = (1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17; 19)

Reihe
¯¯¯¯¯
( Σ a[ i ] ) = (1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100)       

oder rekursiv durch  ai = ai‑1 + 2  mit  a0=1.

a[0] ... = 1

a[ i ] = a[i-1]+2

n = 10

a[0] = 1;   a[i] = a[i-1]+2;   n = 10;

Folge
¯¯¯¯¯
( a[ i ] ) = (1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17; 19)

Reihe
¯¯¯¯¯
( Σ a[ i ] ) = (1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100)       

Die zugehörige Reihe ist offensichtlich die Folge der Quadratzahlen. Das lässt sich sehr schön durch vollständige Induktion beweisen. ( Wikipedia: Vollständige Induktion / Summe_ungerader_Zahlen)

Die Fibonacci-Folge

Eine der bekanntesten rekursiven Folgen beginnt mit  a0=1  und  a1=1 . Die weiteren Gliedern sind jeweils gleich der Summe der beiden vorhergehenden.

a[0] ... = 1; 1

a[ i ] = a[i-1]+a[i-2]

n = 20

a[0]=1;   a[1]=1;    a[ i ] = a[i-1]+a[i-2];   n = 20

Folge
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( a[ i ] ) = (1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144; 233; 377; 610; 987; 1597; 2584; 4181; 6765)

Reihe
¯¯¯¯¯
( Σ a[ i ] ) = (1; 2; 4; 7; 12; 20; 33; 54; 88; 143; 232; 376; 609; 986; 1596; 2583; 4180; 6764; 10945; 17710)

Siehe auch:

Wikipedia: Folge (Mathematik) | Fibonacci-Folge