Algebra lineare

Pseudo-inversa

Se le colonne di una matrice  A  sono linearmente indipendenti, allora  AT · A  è invertibile e otteniamo lo pseudo inverso con la seguente formula:

A+ = (AT · A)-1 · AT

A+  è un'inversa sinistra di  A  , che significa che   A+ · A = E .

Tuttavia, se le righe della matrice sono linearmente indipendenti, otteniamo lo pseudo inverso con la formula:

A+ = AT · (A · AT )-1

A+  è un'inversa destra di A, in modo da:  A · A+ = E .

Se sia le colonne che le righe della matrice sono linearmente indipendenti, la matrice è invertibile e lo pseudo inverso è uguale all'inverso della matrice.

Esempio:

Matrice A
¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  1  1  1  1
  5  7  7  9

AT· A
¯¯¯¯¯
  26  36  36  46
  36  50  50  64
  36  50  50  64
  46  64  64  82

AT· A Non invertibile

A · AT
¯¯¯¯¯¯
   4   28
  28  204

( A · AT )-1
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  6,375 -0,875
 -0,875  0,125

Inverso a destra:  AT·( A·AT )-1
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
     2 -0,25
  0,25     0
  0,25     0
  -1,5  0,25

Test di moltiplicazione:

1a Matrice  ( A )
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  1  1  1  1
  5  7  7  9

2a Matrice  ( A+ )
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
     2 -0,25
  0,25     0
  0,25     0
  -1,5  0,25

Prodotto   ( A·A+)
¯¯¯¯¯¯¯¯
  1  0
  0  1

Menu a comparsa:

Il menu di scelta rapida (pulsante destro del mouse) offre le seguenti funzioni per l'elaborazione della matrice.

Vedi anche:

Wikipedia: Pseudo-inversa
ita.matheass.eu