Algebra lineare

Pseudo-inversa

Se le colonne di una matrice  A  sono linearmente indipendenti, allora  AT · A  è invertibile e otteniamo lo pseudo inverso con la seguente formula:

A+ = (AT · A)-1 · AT

A+  è un'inversa sinistra di  A  , che significa che   A+ · A = E .

Tuttavia, se le righe della matrice sono linearmente indipendenti, otteniamo lo pseudo inverso con la formula:

A+ = AT · (A · AT )-1

A+  è un'inversa destra di A, in modo da:  A · A+ = E .

Se sia le colonne che le righe della matrice sono linearmente indipendenti, la matrice è invertibile e lo pseudo inverso è uguale all'inverso della matrice.

Esempio:


Matrice A
¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  ⎧ 1  1  1  1 ⎫
  ⎩ 5  7  7  9 ⎭

AT· A
¯¯¯¯¯
  ⎧ 26  36  36  46 ⎫
  ⎪ 36  50  50  64 ⎪
  ⎪ 36  50  50  64 ⎪
  ⎩ 46  64  64  82 ⎭

AT· A Non invertibile

A · AT
¯¯¯¯¯¯
  ⎧  4   28 ⎫
  ⎩ 28  204 ⎭

( A · AT )-1
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  ⎧ 6,375 -0,875 ⎫
  ⎩-0,875  0,125 ⎭

Inverso a destra:  AT·( A·AT )-1
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  ⎧    2 -0,25 ⎫
  ⎪ 0,25     0 ⎪
  ⎪ 0,25     0 ⎪
  ⎩ -1,5  0,25 ⎭

Test di moltiplicazione:


1a Matrice  ( A )
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  ⎧ 1  1  1  1 ⎫
  ⎩ 5  7  7  9 ⎭

2a Matrice  ( A+ )
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  ⎧    2 -0,25 ⎫
  ⎪ 0,25     0 ⎪
  ⎪ 0,25     0 ⎪
  ⎩ -1,5  0,25 ⎭

Prodotto   ( A·A+)
¯¯¯¯¯¯¯¯
  ⎧ 1  0 ⎫
  ⎩ 0  1 ⎭

Menu a comparsa:

Il menu di scelta rapida (pulsante destro del mouse) offre le seguenti funzioni per l'elaborazione della matrice.

Vedi anche:

Wikipedia: Pseudo-inversa
ita.matheass.eu