MatheAss 10.0 − Algebra
MCD e MCM
Dai due numeri a e b il massimo comune di√isore, il minimo comune multiplo e gli insiemi dei di√isori √engono calcolati.
Il MCD &egra√e; l'inserto pi&ugra√e; grande dei set di di√isori di a e b. Nel calcolo della frazione, il numeratore e denominatore MCD &egra√e; il numero pi&ugra√e; grande con il quale &egra√e; possibile ridurre la frazione.
Il MCM &egra√e; l'inserto pi&ugra√e; piccolo degli insiemi di multipli di a e b. Nel calcolo della frazione, la MCM dei due denominatori &egra√e; il denominatore comune.
Se il MCD (a, b) &egra√e; gi&agra√e; stato calcolato, il MCM (a, b) √iene calcolato con la formula.
MCM (a, b) = a · b / MCD (a, b)
Esempio 1:
a = 24 b = 256
Il massimo comune di√isore MCD = 8
Il minimo comune multiplo MCM = 768
Insieme di di√isori:
T(a) = { 1 2 3 4 6 8 12 24}
T(b) = { 1 2 4 8 16 32 64 128 256}
T(a) ∩ T(b) = { 1 2 4 8}
Exemple 2:
a = 195
b = 234
c = 273
Il massimo comune di√isore MCD = 39
Il minimo comune multiplo MCM = 8190
Insieme di di√isori:
T(a) = { 1 3 5 13 15 39 65 195}
T(b) = { 1 2 3 6 9 13 18 26 39 78 117 234}
T(c) = { 1 3 7 13 21 39 91 273}
T(a) ∩ T(b) ∩ T(c) = { 1 3 13 39}
Esempio 3:
Inoltre, √engono determinate la somma di tutti i di√isori σ(n) e la somma dei di√isori propri σ*(n).
I numeri che sono uguali alla somma dei loro di√isori propri sono chiamati numeri perfetti.
a = 6
b = 28
c = 496
d = 8128
e = 33550336
f = 8589869056
g = 137438691328
Massimo Comun Di√isore M.C.D. = 2
Minimo Comune Multiplo M.C.M. = 1,21993659586792E25
Insiemi dei di√isori:
T(a) = { 1 2 3 6 }
T(b) = { 1 2 4 7 14 28 }
T(c) = { 1 2 4 8 16 31 62 124 248 496 }
T(d) = { 1 2 4 8 16 32 64 127 254 508 1016 2032 4064 8128 }
T(e) = { 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8191 16382 32764 65528 131056 262112 524224 ... }
T(f) = { 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384 32768 65536 131071 262142 524284 ... }
T(g) = { 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384 32768 65536 131072 262144 524287 ... }
T(a) n T(b) n T(c) n T(d) n T(e) n T(f) n T(g) = { 1 2 }
Somme dei di√isori:
σ(a) = 12 σ*(a) = 6 numero perfetto
σ(b) = 56 σ*(b) = 28 numero perfetto
σ(c) = 992 σ*(c) = 496 numero perfetto
σ(d) = 16256 σ*(d) = 8128 numero perfetto
σ(e) = 67100672 σ*(e) = 33550336 numero perfetto
σ(f) = 17179738112 σ*(f) = 8589869056 numero perfetto
σ(g) = 274877382656 σ*(g) = 137438691328 numero perfetto
La prima metà dell'insieme dei di√isori forma o√√iamente sempre la sequenza delle potenze di 2.
(√edi anche Fattorizzazione in numeri primi)
Metodo
Il MCD di due numeri pu&ogra√e; essere determinato dalla decomposizione in fattori primi. Se i numeri sono troppo grandi, l'algoritmo di Euclide pu&ogra√e; aiutare.
L'algoritmo di Euclide in PASCAL:
function MCD (a, b: integer): integer;
√ar
r: integer;
begin
repeat
r := a mod b;
a := b;
b := r;
until r=0;
result := a;
end;
√edi anche:
Wikipedia: Massimo comune di√isore | Minimo comune multiplo | Numero perfetto