Notes sur la procédure
Les programmes Fonctions polynomiales et Fonctions rationnelles exécutent à peu près les mêmes tâches que le programme Discussion d'une fonction , mais diffèrent fondamentalement dans la procédure.
Comme vous le savez les zéros, les extrema et les points d'inversions sont déterminés en calculant les zéros de ƒ(x), ƒ'(x), ƒ"(x) et ƒ'"(x).
Dans le programme Discussion d'une fonction , ceux-ci sont déterminés approximativement en recherchant la fonction ou les dérivées dans un intervalle pour un changement de signe. Cette méthode numérique peut être appliquée à n'importe quelle fonction, mais ce n'est pas une méthode viable pour trouver des lacunes de définition.
Les programmes Fonctions polynomiales et Fonctions rationnelles sont limités aux polynômes à coefficients rationnels. Ceci permet de calculer exactement les zéros rationnels de la fonction ou des dérivées et, dans le cas des fonctions rationnelles fractionnaires, de déterminer les écarts de définition via les zéros du polynôme dénominateur.
Comme le montrent les exemples suivants, les deux méthodes présentent des avantages et des disaventages.
Exemple 1:
x2 + 4·x + 3 (x + 1)·(x + 3) ƒ(x) = ———————— = ————————— x4 + x3 - 6·x2 x2·(x - 2)·(x + 3) x1 = -3 Espace récupérable L (-3 | 0,0444444) x2 = 0 Pôle sans changement de signe x3 = 2 Pôles avec changement de signe
Les lacunes de définition sont correctement déterminées dans le programme Fonctions rationnelles .
Dans le programme Curve Discussion cependant, x1 et x3 ne sont pas reconnus et sont affichés à tort comme des points d'inversions.
La raison en est le changement de signe de la dérivée seconde.
Exemple 2
ƒ(x) = 3*x^7 + 3*x^6 + 17*x^5 - 5*x^4 + 34*x^3 - 10*x^2 - 16*x + 8 N1 (-0,683 | 0) H1 (-0,295987 | 10,9025) T1 ( 0,471495 | 1,9943) W1 (0,0992583 | 6,34628)
Le polynôme n'a pas de zéros rationnels et le degré du polynôme est trop élevé pour pouvoir utiliser les formules de Cardano et Ferrari
(voir Équations du 4ème degré ). Par conséquent, aucun zéro, aucun extrema et aucun point d'inversions ne se trouvent dans le
programme Fonctions polynomiales .
La méthode numérique du programme Discussion d'une fonction est utile ici.
La décomposition en facteurs linéaires de ƒ(x) montre si les résultats des programmes de Fonctions polynomiales et de Fonctions rationnelles
doivent être vérifiés avec la Discussion d'une fonction .
Si cela n'est pas complet et que le degré du polynôme restant est supérieur à 4, d'autres zéros irrationnels, extrema et points d'inversions peuvent exister.
Dans les programmes Fonctions polynomiales et Fonctions rationnelles , le terme de fonction ƒ(x) est automatiquement copié dans le presse-papiers et peut être
inséré dans la Discussion d'une fonction par Ctrl V ou l'option Coller dans le menu local.