Algèbre linéaire

Matrice pseudo inverse

Si les colonnes d'une matrice  A  sont linéairement indépendants, alors  AT · A  est inversible et nous obtenons la pseudo inverse par la formule suivante:

A+ = (AT · A)-1 · AT

A+  est une inverse à gauche de  A , ce qui signifie que:  A+ · A = E .

Toutefois, si les lignes de la matrice sont linéairement indépendants, on obtient la pseudo inverse par la formule:

A+ = AT· (A · A T) -1

A+  est une inverse à droite de A, donc:  A+· A = E .

Si les deux les colonnes et les lignes de la matrice sont linéairement indépendantes, alors la matrice est inversible et la pseudo inverse est égal à l'inverse de la matrice.

Exemple:

Matrice A
¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  ⎧ 1  1  1  1 ⎫
  ⎩ 5  7  7  9 ⎭

AT· A
¯¯¯¯¯
  ⎧ 26  36  36  46 ⎫
  ⎪ 36  50  50  64 ⎪
  ⎪ 36  50  50  64 ⎪
  ⎩ 46  64  64  82 ⎭

AT· A pas invertible

A · AT
¯¯¯¯¯¯
  ⎧  4   28 ⎫
  ⎩ 28  204 ⎭

( A · AT )-1
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  ⎧ 6,375 -0,875 ⎫
  ⎩-0,875  0,125 ⎭

Inverse à droite:  AT·( A·AT )-1
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  ⎧    2 -0,25 ⎫
  ⎪ 0,25     0 ⎪
  ⎪ 0,25     0 ⎪
  ⎩ -1,5  0,25 ⎭

Épreuve par multiplication:


1e Matrice  ( A )
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  ⎧ 1  1  1  1 ⎫
  ⎩ 5  7  7  9 ⎭

2e Matrice  ( A+ )
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  ⎧    2 -0,25 ⎫
  ⎪ 0,25     0 ⎪
  ⎪ 0,25     0 ⎪
  ⎩ -1,5  0,25 ⎭

Produit   ( A·A+)
¯¯¯¯¯¯¯
  ⎧ 1  0 ⎫
  ⎩ 0  1 ⎭

Menu Pop-up:

Le menu contextuel (bouton droit de la souris) vous offre les fonctions suivantes pour traiter la matrice.

Voir aussi:

Wikipedia: Pseudo-inverse
fra.matheass.eu