Matrice pseudo inverse
Si les colonnes d'une matrice A sont linéairement indépendants, alors
A+ = (AT · A)-1 · AT
A+ est une inverse à gauche de A ,
ce qui signifie que:
Toutefois, si les lignes de la matrice sont linéairement indépendants, on obtient la pseudo inverse par la formule:
A+ = AT· (A · A T) -1
A+ est une inverse à droite de A, donc:
Si les deux les colonnes et les lignes de la matrice sont linéairement indépendantes, alors la matrice est inversible et la pseudo inverse est égal à l'inverse de la matrice.
Exemple:
Matrice A ¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ⎧ 1 1 1 1 ⎫ ⎩ 5 7 7 9 ⎭ AT· A ¯¯¯¯¯ ⎧ 26 36 36 46 ⎫ ⎪ 36 50 50 64 ⎪ ⎪ 36 50 50 64 ⎪ ⎩ 46 64 64 82 ⎭ AT· A pas invertible A · AT ¯¯¯¯¯¯ ⎧ 4 28 ⎫ ⎩ 28 204 ⎭ ( A · AT )-1 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ⎧ 6,375 -0,875 ⎫ ⎩-0,875 0,125 ⎭ Inverse à droite: AT·( A·AT )-1 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ⎧ 2 -0,25 ⎫ ⎪ 0,25 0 ⎪ ⎪ 0,25 0 ⎪ ⎩ -1,5 0,25 ⎭
Épreuve par multiplication:
1e Matrice ( A ) ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ⎧ 1 1 1 1 ⎫ ⎩ 5 7 7 9 ⎭ 2e Matrice ( A+ ) ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ⎧ 2 -0,25 ⎫ ⎪ 0,25 0 ⎪ ⎪ 0,25 0 ⎪ ⎩ -1,5 0,25 ⎭ Produit ( A·A+) ¯¯¯¯¯¯¯ ⎧ 1 0 ⎫ ⎩ 0 1 ⎭
Menu Pop-up:
Le menu contextuel (bouton droit de la souris) vous offre les fonctions suivantes pour traiter la matrice.
Découper la matrice, Copier la matrice et Insérer la matrice
Avec ça vous pouvez copier la matrice aux clipboard pour insérer par exemple à "Produit des matrices".
Transposer la matrice
Pour échanger les lignes et les colonnes de la matrice.
Exporter la matrice ou Importer la matrice
Exporter ou importer la matrice en format CSV (comma separated values), avec quel les données d'un fichier Excel peut être remplacé.
Voir aussi:
Vous lisez actuellement le fichier d'aide du programme MatheAss. Pour plus d'informations sur la version française de MatheAss, voir https://fra.matheass.eu ou C'est quoi MatheAss?