MatheAss 9.0Álgebra lineal

Matriz pseudo inversa

Si las columnas de una matriz a son linealmente independientes, entonces  aT · a  es invertible y obtenemos con la siguiente fórmula la pseudo inversa:

a+ = (aT · a)-1 · aT

aquí  a+  es una inversa izquierda de  a  , lo que significa:  a+ · a = E .

Sin embargo, si las filas de la matriz son linealmente independientes, obtenemos el pseudo inverso con la fórmula:

a+ = aT · (a · aT )-1

Esta es una inversa derecha de  a  , lo que significa:  a · a+ = E .

Si tanto las columnas como las filas de la matriz son linealmente independientes, entonces la matriz es invertible y la pseudo inversa es igual a la inversa de la matriz.

Ejemplo:

Matriz a
¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  ⎧ 1  1  1  1 ⎫
  ⎩ 5  7  7  9 ⎭

aT · a
¯¯¯¯¯¯¯
  ⎧ 26  36  36  46 ⎫
  ⎪ 36  50  50  64 ⎪
  ⎪ 36  50  50  64 ⎪
  ⎩ 46  64  64  82 ⎭

aT · a no es invertible

a · aT
¯¯¯¯¯¯
  ⎧  4   28 ⎫
  ⎩ 28  204 ⎭

(a · aT )-1
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  ⎧ 6,375 -0,875 ⎫
  ⎩-0,875  0,125 ⎭

Inverso a la derecha: aT · (a · aT )-1
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  ⎧    2 -0,25 ⎫
  ⎪ 0,25     0 ⎪
  ⎪ 0,25     0 ⎪
  ⎩ -1,5  0,25 ⎭

Prueba por multiplicación:

1. Matriz (a)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  ⎧ 1  1  1  1 ⎫
  ⎩ 5  7  7  9 ⎭

2. Matriz (a+ )
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  ⎧ 2    -0,25 ⎫
  ⎪ 0,25     0 ⎪
  ⎪ 0,25     0 ⎪
  ⎩ -1,5  0,25 ⎭

Producto de matrices  (a · a+ )
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  ⎧ 1  0 ⎫
  ⎩ 0  1 ⎭

Menú emergente:

Haga clic derecho para abrir un menú local, que le ofrece las siguientes funciones para administrar la matriz.

See also:

Wikipedia: Moore Penrose pseudoinverse
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