Logistische Regression

Bei der Regression geht es darum, für eine Reihe von Messdaten die unbekannten Parameter eines Wachstums-Modells bzw. einer vorgegebenen Funktion so zu bestimmen, dass sich das endgültige Modell den Daten bestmöglich anpasst.
Häufig betrachtete Modelle sind:

Lineares Wachstum

Beim linearen Wachstum ist die Wachstumsrate, also die Ableitung der Wachstumsfunktion konstant.
Das zugehörige Schaubild ist eine Gerade.

Exponentielles Wachstum

Beim exponentiellen Wachstum ist die Wachstumsrate proportional zum Bestand.

Begrenztes Wachstum

Beim begrenzten Wachstum ist die Wachstumsrate proportional zum Sättigungsmanko, d.h., wie weit der Bestand noch von der Sättigungsgrenze S  entfernt ist.

Logistisches Wachstum

Beim logistischen Wachstum geht man davon aus, dass der Bestand am Anfang im Wesentlichen exponentiell wächst, das Wachstum aber bei Annäherung an die Sättigungsgrenze immer mehr gebremst wird. Man nimmt also an, dass die Wachstumsrate sowohl zum Bestand als auch zum Sättigungsmanko proportional ist. Daraus ergibt sich die Differentialgleichung:
 
Diese hat die Lösung:
Zu gegebener Sättigungsgrenze S  bestimmt das Programm den Anfangswert f(0) und den Proportionalitätsfktor k   für eine Anpassung der Funktion f(t)  an die gegebenen Wertepaare.

Der Begriff Logistisches Wachstum geht zurück auf den belgischen Mathematiker Pierre François Verhulst (1804-1849), der 1837 die sogenannte Logistische Gleichung zur Beschreibung demografischer Entwicklungen formuliert hat.