Pseudoinverse Matrix

Sind die Spalten einer Matrix  A  linear unabhängig, so ist  AT· A  invertierbar und man erhält mit folgender Formel die Pseudoinverse:

A+ = ( AT· A )-1· AT

Dabei ist  A+  eine Linksinverse von  A , das heißt es gilt:  A+ · A = E .

Sind dagegen die Zeilen der Matrix linear unabhängig, so erhält man die Pseudoinverse mit der Formel:

A+ = AT· ( A · AT )-1

Sie ist eine Rechtsinverse von  A , das heißt:  A · A+ = E .

Sind sowohl die Spalten als auch die Zeilen der Matrix linear unabhängig, so ist die Matrix invertierbar und die Pseudoinverse ist gleich der Inversen der Matrix.

Beispiel:

Matrix A
¯¯¯¯¯¯¯¯
  ⎧ 1  1  1  1 ⎫
  ⎩ 5  7  7  9 ⎭

AT· A
¯¯¯¯¯
  ⎧ 26  36  36  46 ⎫
  ⎪ 36  50  50  64 ⎪
  ⎪ 36  50  50  64 ⎪
  ⎩ 46  64  64  82 ⎭

AT· A nicht invertierbar

A · AT
¯¯¯¯¯¯
  ⎧  4   28 ⎫
  ⎩ 28  204 ⎭

( A · AT )-1
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  ⎧ 6,375 -0,875 ⎫
  ⎩-0,875  0,125 ⎭

Rechtsinverse:  AT·( A·AT )-1
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  ⎧    2 -0,25 ⎫
  ⎪ 0,25     0 ⎪
  ⎪ 0,25     0 ⎪
  ⎩ -1,5  0,25 ⎭

Probe durch Multiplikation:

1. Matrix  ( A )
¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  ⎧ 1  1  1  1 ⎫
  ⎩ 5  7  7  9 ⎭

2. Matrix  ( A+ )
¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  ⎧    2 -0,25 ⎫
  ⎪ 0,25     0 ⎪
  ⎪ 0,25     0 ⎪
  ⎩ -1,5  0,25 ⎭

Produktmatrix ( A·A+)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  ⎧ 1  0 ⎫
  ⎩ 0  1 ⎭

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