ggT und kgV von Polynomen

Das Programm berechnet den größten gemeinsamen Teiler (ggT) und das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von zwei Polynomen
p₁(x) = a₉·x⁹ + a₈·x⁸ + ... + a₀     und     p₂(x) = b₉·x⁹ + b₈·x⁸ + ... + b₀ .

Die Koeffizienten der Polynome können als Brüche, als gemischte Zahlen oder als abbrechende Dezimalzahlen eingegeben werden.

Mit der Checkbox wählen Sie, ob die Koeffizienten der Polynome als Brüche oder als Dezimalzahlen ausgegeben werden sollen.

p1(x) =  4·x6 - 2·x5 - 6·x4- 18·x3 - 2·x2 + 24·x + 8
p2(x) =  10·x4- 14·x3 - 22·x2 + 14·x + 12

ggT(p1,p2) =  x2 - x - 2
kgV(p1,p2) =  40·x8 - 36·x7 - 76·x6 - 144·x5 + 88·x4+ 356·x3 - 4·x2 - 176·x - 48    

p1(x) =  (x2 - x - 2)·(4·x4 + 2·x3 + 4·x2 - 10·x - 4)
p2(x) =  (x2 - x - 2)·(10·x2 - 4·x - 6)

Anwendung:

Den ggT und das kgV benötigt man bekanntlich beim Kürzen von Brüchen bzw. beim Addieren von Brüchen.
Auf Polynome übetragen entspricht das dem Kürzen bzw. dem Addieren von Funktionstermen rationaler Funktionen.

Hinweis:

Der ggT von Polynomen wird analog zum ggT natürlicher Zahlen mit dem Algorithmus von Euklid bestimmt (vgl. ggT und kgV). Bei dem Verfahren werden wiederholt Polynomdivisionen ausgeführt und es können bei den Zwischenergebnissen Koeffizienten auftreten, die zu einem Abbruch wegen "overflow" führen. In diesem Fall wird angezeigt, dass weitere gemeinsame Teiler existieren können.

Siehe auch:

Wikipedia: Euklidischer Algorithmus