Polynome faktorisieren

Bestimmt werden die rationalen Nullstellen und die Linearfakorzerlegung eines Polynoms.

p(x) = a9·x9 + a8·x8 + ... + a0.

Die Koeffizienten des Polynoms können als Brüche, als gemischte Zahlen oder als abbrechende Dezimalzahlen eingegeben werden.

p(x) = x5 - 9·x4 - 82/9·x3 + 82·x2 + x - 9
       = (1/9)·(9·x5 - 81·x4 - 82·x3 + 738·x2 + 9·x - 81)                      
       = (1/9)·(3·x - 1)·(3·x + 1)·(x - 9)·(x - 3)·(x + 3)

Rationale Nullstellen: 1/3, -1/3, 9, 3, -3

Als Erstes werden die Koeffizienten durch Ausklammern der Bruchfaktoren auf ganze Zahlen gebracht. Danach werden die rationalen Nullstellen bestimmt und das Polynom in die zugehörigen Linearfaktoren zerlegt. Faktoren, die keine rationalen Nullstellen haben, werden nicht weiter zerlegt.

Weitere Beispiele:

p(x) = x6 + x5 - 5·x4 - 5·x3 + 4·x2 + 4·x                                            
       = x·(x - 1)·(x + 1)2·(x - 2)·(x + 2)
	   
Rationale Nullstellen: 0, 1, -1, 2, -2
p(x) = x6 - 36·x5 + 505·x4 - 3480·x3 + 12139·x2 - 19524·x + 10395
      = (x - 1)·(x - 3)·(x - 5)·(x - 7)·(x - 9)·(x - 11)

Rationale Nullstellen: 1, 3, 5, 7, 9, 11
p(x) = 0,2·x5 + x4 + 2·x3 + 2·x2 + x + 0,2                                         
       = (1/5)·(x5 + 5·x4 + 10·x3 + 10·x2 + 5·x + 1)       
       = (1/5)·(x + 1)5

Rationale Nullstellen: -1
p(x) =  -432·x5 - 648·x4 + 837·x3 + 1835·x2 + 875·x + 125             
       = (3·x + 1)2·(3·x - 5)·(4·x + 5)2

Rationale Nullstellen: -1/3, 5/3, -5/4
p(x) = x5 + 3·x4 + 8/3·x3 - x - 1/3                                                      
       = (1/3)·(3·x5 + 9·x4 + 8·x3 - 3·x - 1)
       = (1/3)·(x + 1)3·(3·x2 - 1)

Rationale Nullstellen: -1

Bleibt wie im letzten Beispiel ein Restpolynom mit einem Grad kleiner oder gleich 4 übrig, können eventuell noch vorhandene irrationale Nullstellen mit dem Programmteil Algebra/Gleichungen 4.Grades  ermittelt werden.

Ist der Grad des Restpolynoms größer als 4, bleibt die Möglichkeit mit dem Programmteil Analysis/Kurvendiskussion  grafisch nach weiteren Nullstellen zu suchen.

Siehe auch:

Wikipedia: Faktorisierung von Polynomen