Lineare Algebra

Pseudoinverse Matrix

Sind die Spalten einer Matrix  A  linear unabhängig, so ist  AT· A  invertierbar und man erhält mit folgender Formel die Pseudoinverse:

A+ = ( AT· A )-1· AT

Dabei ist  A+  eine Linksinverse von  A , das heißt es gilt:  A+ · A = E .

Sind dagegen die Zeilen der Matrix linear unabhängig, so erhält man die Pseudoinverse mit der Formel:

A+ = AT· ( A · AT )-1

Sie ist eine Rechtsinverse von  A , das heißt:  A · A+ = E .

Sind sowohl die Spalten als auch die Zeilen der Matrix linear unabhängig, so ist die Matrix invertierbar und die Pseudoinverse ist gleich der Inversen der Matrix.

Beispiel:

Matrix A
========
  1  1  1  1
  5  7  7  9

AT· A
=====
  26  36  36  46
  36  50  50  64
  36  50  50  64
  46  64  64  82

AT· A nicht invertierbar

A · AT
======
   4   28
  28  204

( A · AT )-1
============
  6,375 -0,875
 -0,875  0,125

Rechtsinverse:  AT·( A·AT )-1
============================
     2 -0,25
  0,25     0
  0,25     0
  -1,5  0,25

Probe durch Multiplikation:

1. Matrix  ( A )
=========
  1  1  1  1
  5  7  7  9

2. Matrix  ( A+ )
=========
     2 -0,25
  0,25     0
  0,25     0
  -1,5  0,25

Produktmatrix ( A·A+)
=============
  1  0
  0  1

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Siehe auch:

Wikipedia: Pseudoinverse
www.matheass.de