Analysis

Newton-Iteration

Bei der Newton-Iteration handelt es sich um ein Näherungsverfahren zur Berechnung einer Nullstelle von f(x). Gibt man einen Startwert x0 ein, der nahe genug an der gesuchten Nullstelle liegt, so wird als nächste Näherung x1 der Schnitt der Tangente an den Graph von f im Punkt P(x0|f(x0)) mit der x-Achse berechnet.

Dies führt auf die Rekursionsformel

    xn+1  =  xn  -  f(xn) / f'(xn)

Das Verfahren konvergiert, wenn für x0 gilt :  f(x0) · f"(x0) > 0 .

Beispiel:

  f(x) = x-cos(x)

       x              f(x)           f'(x)
----------------------------------------------
 x0  = 1              
 x1  = 0,75036387     0,45969769     1,841471
 x2  = 0,73911289     0,018923074    1,681905
 x3  = 0,73908513     0,00004646     1,6736325
 x4  = 0,73908513     0,00000000     1,673612
 x5  = 0,73908513     0              1,673612
 x6  = 0,73908513     0              1,673612

Siehe auch:

Erlaubte Funktionsterme
Wikipedia: Newton-Verfahren
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