Algebra

Gleichungen 4. Grades

Das Programm bestimmt die reellwertigen Lösungen einer Gleichung 4. oder kleineren Grades.

a·x4 + b·x3 + c·x2 + d·x + e = 0

Beispiel:

Um die Lösungsmenge der Gleichung   x4 + 2x3 - 8x2 -18x - 9 = 0   zu bestimmen, gibt man die Koeffizienten a bis e folgendermaßen ein:

und erhält die Lösungsmenge:

 x^4 + 2x^3 - 8x^2 - 18x - 9 = 0
 L = {-1; -3; 3}

Die Formel für quadratische Gleichungen lernt jeder Schüler. Die Formel für kubische Gleichungen, also 3. Grades, wurde von  Scipione del Ferro  um 1530 hergeleitet, aber erst nach seinem Tode von seinem Schüler  Ceralamo Cardano  veröffentlicht. Die Erweiterung auf Gleichungen 4. Grades schrieb Cardano selbst seinem Schüler  Lodovico Ferrari   zu.

Gleichungen 5. und höheren Grades

1824 gelang dem norwegischen Mathematiker Niels Henrik Abel  der Nachweis, dass es für Gleichungen höher als 4. Grades, abgesehen von Sonderfällen, keine Lösungsformel geben kann. Es bleiben dann noch Näherungsrechnungen wie sie bei der Bestimmung der Nullstellen im Programmteil Kurvendiskussion angewendet werden.

Einen Ausweg bietet manchmal die Polynomdivision, wenn durch Probieren eine Lösung gefunden wurde.

Zum Beispiel findet man durch Probieren für die Gleichung  x5 - 12x3 - 2x2 + 27x + 18 = 0  die Lösung x1 = 2 .

Die linke Seite der Gleichung muss sich also ohne Rest durch   (x - 2)   dividieren lassen. Die Polynomdivision ergibt:

(- 18x5 + 45x4 - 2x3 - 12x2 + 1 ) : (x - 2 ) = x4 + 2x3- 8x2 - 18x - 9

Die Gleichung   x4 + 2x3- 8x2 - 18x - 9 = 0   liefert dann die restlichen Lösungen.

Siehe auch:

Wikipedia: Kubische Gleichung | Cardanische Formeln
Wikipedia: Scipione del Ferro | Gerolamo Cardano | Ludovico Ferrari
www.matheass.de